AI颠覆数学研究！陶哲轩借AI破解数学猜想形式化成功惊呆数学圈

　　历时三周，陶哲轩成功地用AI工具完成了形式化多项式Freiman-Ruzsa猜想证明过程的工作。他再次呼吁数学研究者学会正确利用AI工具，网友惊呼:以后的数学论文不需要人类可读了?

　　三周前，他曾发布一篇博文，记录下自己使用Blueprint在Lean4中形式化多项式Freiman-Ruzsa猜想的证明过程。

　　就在昨天，他激动宣布:将多项式Freiman-Ruzsa猜想的证明形式化的Lean4项目，在三周后取得了成功!

　　陶哲轩表示，在整个团队中，自己贡献的代码大概只有5%。这个结果很鼓舞人心，因为这意味着数学家即使不具备Lean编程技能，也能领导Lean的形式化项目。

　　他发现，项目中在数学上最有趣的部分，形式化起来比较容易，而技术上看起来最显而易见的步骤，却最耗时。

　　而使用Blueprint将项目分解成难度小到中等的部分，效果很好，这就让大量并行工作成为可能。

　　这样，许多贡献者就可以处理特定的子任务，而无需理解整个证明过程，甚至可以完全不了解相关的数学领域知识。

　　就在几分钟前，Lean成功证明了PFR猜想，且没有留下任何悬而未决的问题（后文将会提到的「sorry」）。这意味着，这个项目的所有主要目标，都已经圆满完成。

　　陶哲轩表示，恰恰相反，如果证明的形式化变得更加主流，并且更多地得到AI辅助，那完全有可能创建出既人类可读、又能被机器阅读的证明。

　　PFR证明的blueprint就证明了这一点——既人类可读，每个证明步骤还带有形式化的理由，还能得到一个依赖关系图，来可视化整个论证的全局结构。

　　比如对于有限单群分类的超过10000页的证明，几乎百分百是由人工生成的，但一个由计算机协助处理的替代证明，在某些方面看更令人满意。

　　许多数学家都应该将写作风格从标准数学英语/LaTex，转换为Blueprint/LaTex。

　　我在研究生阶段对数学的尝试，就就好像一个穴居人本来在摇晃一辆普通的独轮车，忽然眼前出现了一辆直升机，上面的人向我伸出手，告诉我来试试看，一点也不可怕。

　　自从听说四色定理以来，我一直很清楚，形式化是数学的未来。但我没有预料到的是，陶哲轩如此从容不迫，形式化才刚刚获得牵引力，他就能用AI完成几乎所有的数学写作。

　　形式化，是指从基本公理和规则中真正推导出证明中的每个陈述。而陶哲轩在这篇博文里，把需要死记硬背的劳动都抽象出来，交给了机器。

　　已经有人开始畅想:很可能会有一段时间，大多数证明只是在Lean或类似系统中完成，再也没有人需要费心写一篇「人类可读」的论文了。

　　是的，如果我们只是要训练或微调AI来产生答案，然后编写一个循环来反馈，直到编译器正确输出，那我们自己并不需要真的理解。

　　用这种方法，我们还能生成更多的训练示例，可以手动检查结果是否符合要求，做上注释。而训练，可以提高初始答案的准确性。

　　这个项目得益于Patrick Massot的Blueprint工具，这个工具让团队能够编写与Lean形式化紧密相关的、人类可读的证明「蓝图」。

　　在Blueprint中，有一个陶哲轩特别喜欢的功能，那就是自动生成的依赖图。它可以提供形式化进度的大致快照。截至当时，依赖图的样子如下:

　　简单来说，绿色的气泡或矩形表示那些已经被完全形式化的引理或定义，而蓝色的则指那些已准备好进行形式化的引理或定义（这意味着它们的陈述已经形式化，但证明还没有，同时所有相关的前置引理和证明也是如此）。

　　图中，Blueprint显示出一种人类可读的PFR语句形式，还附带了这个语句的人类可读证明，该证明依赖于项目中的其他语句:

　　注意，「pfr」气泡是白色的，但有一个绿色边框，这意味着PFR的陈述已经在Lean中正式化，然而证明并没有。

　　证明本身还没有准备好被形式化，是因为一些先决条件（特别是「entropy-pfr」Theorem6.16）甚至还没有形式化的陈述。

　　G是一个属于顺序2的有限初等阿贝尔群（这就是团队选择形式化有限场向量空间的方式）;A是G的非空子集;A+A的基数k倍a的基数。 p=

　　这是因为「pretty printing」模式抑制了定理陈述中的一些信息，只要单击「来源」链接，就可以看到了。

　　该定理底部有一个明显的「sorry」，这意味着尚未为该定理提供证明，但最终意图当然是用实际证明，来代替这个「sorry」。

　　Blueprint依赖关系图表明，这个引理可以从前面的一个引理中推导出来，称为「ruzsa-diff」:

　　「uzsa-diff」也是蓝色的，边框是绿色的，所以它与「ruzsa-nonneg」具有相同的当前状态:陈述是形式化的，证明也准备好形式化了，但证明还没有用Lean编写。其中，

　　因此，即使我们还不知道如何证明Lemma3.11，但假设Lemma3.11成立，并补全Lemma3.13的证明，应该是轻而易举的事。

　　这里可以使用一种非常方便的「linarith」策略，它能解决任何可以通过现有假设的线性运算得出的目标:

　　成功之后可以看到，状态报告显示这个分支已经没有需要证明的目标了。所以，我们继续剩下的「sorry」，也就是证明

　　其中一种方法是尝试使用「exact? 」策略，它会自动搜索，看目标是否可以立即从现有的引理中推导出来:

　　于是，陶哲轩点击了建议的代码（系统会自动将其粘贴到正确的位置）。结果成功了，只留下最后的「sorry」:

　　在补全最后一个「sorry」时，陶哲轩再一次尝试了「exact?」，想知道如何把h和h结合起来才能达到预期目标，结果成功了!

　　我们最后得到的，基本就是一个「单线证明」，考虑到Lemma3.11和Lemma3.13是如此接近，这也是合情合理的。

　　Blueprint的重建需要相当长的时间（约半小时），依赖关系图现在以绿色显示 「ruzsa-nonneg」:

　　不过，虽然「ruzsa-nonneg」现在被涂成绿色，但还没有这个结果的完整证据，因为它所依赖的引理「ruzsa-diff」不是绿色的。

　　陶哲轩表示，希望在未来的某个时候，前身结果也能被证明，那时，就可以说PFR猜想的结果，得到了完全的证明。

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　　陶哲轩成功利用AI工具形式化了多项式Freiman-Ruzsa猜想的证明，这一成果引起了数学界的广泛关注。他在博文中详细记录了使用Blueprint在Lean4中形式化证明的过程。这一成果展示了形式化在主流数学中的受关注程度，为未来的数学研究指明了可能的方向。

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